冲刺中考数学压轴之满分集训 专题01 规律探究题（五大类）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题01  规律探究题（五大类）

【典例分析】

【类型一：解决实际问题规律】

【典例1】（2020•广西）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是　  　．

【答案】556个

【解答】解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），

往后每排增加两个座位，

所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，

所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，

因为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，

所以后区的座位数为：10×34＝340，

所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．

故答案为：556个．

【变式1-1】（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（　　）

A．4 B．2 C．2 D．0

【答案】B

【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，

∴红跳棋每过6秒返回到A点，

2022÷6＝337，

∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，

∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，

∴黑跳棋每过18秒返回到A点，

2022÷18＝112•••6，

∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，

连接AE，过点F作FM⊥AE，

由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，

∴∠FAE＝30°，

在Rt△AFM中，AM＝AF＝，

∴AE＝2AM＝2，

∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．

故选：B．

【变式1-2】（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：

其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……

图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……

……

由此类推，图④中第五个正六边形数是 　　．

【答案】45

【解答】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……

图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……

图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……

由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．

故答案为：45．

【类型二：数字规律】

【典例2】（2021•江西）如图在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 　　．

【答案】3

【解答】解：由表可知，每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，

故第四行空缺的数字是1+2＝3，

故答案为：3．

【变式2-1】（2022•西安二模）如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详细九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角．请你根据杨辉三角的规律补全表中第五行空缺的数字是 　　．

【答案】6

【解答】解：根据表中的数据和数据的变化特点，可以发现每一行中间的数等于这个数字左上角和右上角的两个数字之和，

故第第五行空缺的数字是3+3＝6，

故答案为：6．

【变式2-2】（2022•庆云县模拟）德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数），又称为莱布尼茨三角形，根据前5行的规律，写出第6行的第三个数：　 　．

【答案】

【解答】解：由数表可知，第n行的第1个数和最后1个数为，

∴第6行的第1个数和最后1个数为，

中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，例如：

＝+，＝+，

∴第6行的第2个数为﹣＝，

第6行的第3个数为﹣＝，

故答案为：．

【变式2-3】（2022•黑龙江）如图所示，以O为端点画六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 　  　上．

【答案】OC

【解答】解：∵1在射线OA上，

2在射线OB上，

3在射线OC上，

4在射线OD上，

5在射线OE上，

6在射线OF上，

7在射线OA上，

……

每六个一循环，

2013÷6＝335……3，

∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，

∴所描的第2013个点在射线OC上．

故答案为：OC．

【变式2-4】（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P₁在射线OA上，且OP₁＝1，过点P₁作P₁K₁⊥OA交射线OB于K₁，在射线OA上截取P₁P₂，使P₁P₂＝P₁K₁；过点P₂作P₂K₂⊥OA交射线OB于K₂，在射线OA上截取P₂P₃，使P₂P₃＝P₂K₂…按照此规律，线段P₂₀₂₃K₂₀₂₃的长为 　    　．

【答案】（1+）²⁰²²

【解答】解：由题意可得，

P₁K₁＝OP₁•tan60°＝1×＝，

P₂K₂＝OP₂•tan60°＝（1+）×＝（1+），

P₃K₃＝OP₃•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）²，

P₄K₄＝OP₄•tan60°＝[（1+++3）+（1+）²]×＝（1+）³，

…，

P_nK_n＝（1+）^n﹣1，

∴当n＝2023时，P₂₀₂₃K₂₀₂₃＝（1+）²⁰²²，

故答案为：（1+）²⁰²²．

【变式2-5】（2022•眉山）将一组数，2，，2，…，4，按下列方式进行排列：

，2，，2；

，2，，4；

…

若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，3），则2的位置记为 　 　．

【答案】（4，2）

【解答】解：题中数字可以化成：

，，，；

，，，；

∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，

∵，28是第14个偶数，而14÷4＝3⋯2，

∴的位置记为（4，2），

故答案为：（4，2）．

【变式2-6】（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【解答】解：第1个图中H的个数为4，

第2个图中H的个数为4+2，

第3个图中H的个数为4+2×2，

第4个图中H的个数为4+2×3＝10，

故选：B．

【类型三：式子规律】

【典例3-1】（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【答案】A

【解答】解：原数据可转化为：，﹣，，﹣，，﹣，…，

∴＝（﹣1）¹⁺¹×，

﹣＝（﹣1）²⁺¹×，

＝（﹣1）³⁺¹×，

..．

∴第n个数为：（﹣1）ⁿ⁺¹，

∴第10个数为：（﹣1）¹⁰⁺¹×＝﹣．

故选：A．

【典例3-2】（2022春•隆昌市校级月考）已知a₁为实数，规定运算：，，，，…，．按上述方法计算：当a₁＝3时，a₂₀₂₁的值等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解答】解：当a₁＝3时，

a₂＝1﹣＝，

a₃＝1﹣＝1﹣＝﹣，

a₄＝1﹣＝1+2＝3，

..．

∴以3个数为一组，不断循环，

∵2021÷3＝673...2，

∴a₂₀₂₁＝，

故选：D．

【变式3-1】（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x⁴，9x⁵，……，第n个单项式是（　　）

A．（2n﹣1）xⁿ B．（2n+1）xⁿ C．（n﹣1）xⁿ D．（n+1）xⁿ

【答案】A

【解答】解：∵单项式：x，3x²，5x³，7x⁴，9x⁵，…，

∴第n个单项式为（2n﹣1）xⁿ，

故选：A．

【变式3-2】（2022•宿迁）按规律排列的单项式：x，﹣x³，x⁵，﹣x⁷，x⁹，…，则第20个单项式是 　  　．

【答案】﹣x³⁹

【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第n项的数为（﹣1）ⁿ⁺¹×x^2n﹣1，

则第20个单项式是（﹣1）²¹×x³⁹＝﹣x³⁹，

故答案为：﹣x³⁹．

【变式3-3】（2022•达州）人们把≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝，b＝，记S₁＝+，S₂＝+，…，S₁₀₀＝+，则S₁+S₂+…+S₁₀₀＝　  　．

【答案】5050

【解答】解：∵a＝，b＝，

∴ab＝×＝1，

∵S₁＝+＝＝1，

S₂＝+＝＝2，

…，

S₁₀₀＝+＝＝100，

∴S₁+S₂+…+S₁₀₀＝1+2+…+100＝5050，

故答案为：5050．

【类型四：图形规律】

【典例4】（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（　　）

A．32 B．34 C．37 D．41

【答案】C

【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，

第②个图案中有9个正方形，

第③个图案中有13个正方形，

第④个图案中有17个正方形，

…，

第n个图案中有（4n+1）个正方形，

∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，

故选：C．

【变式4-1】（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（　　）

A．297 B．301 C．303 D．400

【答案】B

【解答】解：观察图形可知：

摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；

摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；

摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；

摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；

…

第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，

∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．

故选：B．

【变式4-2】（2022•黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【解答】解：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高，

中间最高是2层，要是最多就都是2层，

最前面的最高是1层，

所以最多的为：2+2×2+1×2＝8．

故选：B．

【变式4-3】（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（　　）

A．15 B．13 C．11 D．9

【答案】C

【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，

第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，

第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，

……

则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，

∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，

故选：C．

【变式4-4】（2022•大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是 　　．

【答案】49

【解答】解：由题意得：

第一个图案中的“”的个数是：4＝4+3×0，

第二个图案中的“”的个数是：7＝4+3×1，

第三个图案中的“”的个数是：10＝4+3×2，

..．

∴第16个图案中的“”的个数是：4+3×15＝49，

故答案为：49．

【变式4-5】（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 　　cm．

【答案】91

【解答】解：由题意得：

1节链条的长度＝2.8cm，

2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，

3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，

..．

∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），

故答案为：91．

【变式4-6】（2022•遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 　　．

【答案】127

【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），

第二代勾股树中正方形有1+2+2²＝7（个），

第三代勾股树中正方形有1+2+2²+2³＝15（个），

.....．

∴第六代勾股树中正方形有1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶＝127（个），

故答案为：127．

【变式4-7】（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 　  　．

【答案】485

【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，

第二个图形正三角形的个数为5×3+2＝2×3²﹣1＝17，

第三个图形正三角形的个数为17×3+2＝2×3³﹣1＝53，

第四个图形正三角形的个数为53×3+2＝2×3⁴﹣1＝161，

第五个图形正三角形的个数为161×3+2＝2×3⁵﹣1＝485．

如果是第n个图，则有2×3ⁿ﹣1个

故答案为：485．

【类型五：坐标平面中的规律】

【典例5】（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A₁OB₁，第二次旋转后得到△A₂OB₂，…，以此类推，则点A₂₀₂₁的坐标为（　　）

A．（﹣2²⁰²⁰，﹣×2²⁰²⁰） B．（2²⁰²¹，﹣×2²⁰²¹）

C．（2²⁰²⁰，﹣×2²⁰²⁰） D．（﹣2²⁰²¹，﹣×2²⁰²¹）

【答案】C

【解答】解：由已知可得：

第一次旋转后，A₁在第一象限，OA₁＝2，

第二次旋转后，A₂在第二象限，OA₂＝2²，

第三次旋转后，A₃在x轴负半轴，OA₃＝2³，

第四次旋转后，A₄在第三象限，OA₄＝2⁴，

第五次旋转后，A₅在第四象限，OA₅＝2⁵，

第六次旋转后，A₆在x轴正半轴，OA₆＝2⁶，

.....．

如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，

∴A₂₀₂₁在第四象限，且OA₂₀₂₁＝2²⁰²¹，示意图如下：

OH＝OA₂₀₂₁＝2²⁰²⁰，A₂₀₂₁H＝OH＝×2²⁰²⁰，

∴A₂₀₂₁（2²⁰²⁰，﹣×2²⁰²⁰），

故选：C．

【变式5-1】（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D₁，再将D₁绕点B逆时针旋转90°得点D₂，再将D₂绕点C逆时针旋转90°得点D₃，再将D₃绕点D逆时针旋转90°得点D₄，再将D₄绕点A逆时针旋转90°得点D₅……依此类推，则点D₂₀₂₂的坐标是 　     　．

【解答】（﹣2023，2022）

【解答】解：如图，过点D₁作D₁E⊥y轴于E，过点D₂作D₂F⊥x轴于F，过点D₃作D₃G⊥y轴于G，过点D₄作D₄H⊥x轴于H，过点D₅K作D₅K⊥y轴于K，

∵正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，D（1，0），

∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝BC＝C＝AD＝，∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠ADO＝45°，

∴A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），

∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D₁，

∴∠D₁AE＝45°，∠AED₁＝90°，AD₁＝AD＝，

∴AE＝AD₁•cos∠D₁AE＝cos45°＝1，D₁E＝AD₁•sin∠D₁AE＝sin45°＝1，

∴OE＝OA+AE＝1+1＝2，BD₁＝AB+BD₁＝+＝2，

∴D₁（1，2），

∵再将D₁绕点B逆时针旋转90°得点D₂，

∴∠D₂BF＝45°，∠D₂FB＝90°，BD₂＝BD₁＝2，

∴D₂F＝BD₂sin∠D₂BF＝2sin45°＝2，BF＝BD₂cos∠D₂BF＝2cos45°＝2，

∴OF＝OB+BF＝1+2＝3，

∴D₂（﹣3，2），

再将D₂绕点C逆时针旋转90°得点D₃，再将D₃绕点D逆时针旋转90°得点D₄，再将D₄绕点A逆时针旋转90°得点D₅……

同理可得：D₃（﹣3，﹣4），D₄（5，﹣4），D₅（5，6），D₆（﹣7，6），……，

观察发现：每四个点一个循环，D_4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），

∵2022＝4×505+2，

∴D₂₀₂₂（﹣2023，2022）；

故答案为：（﹣2023，2022）．

【变式5-2】（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，A₁（2，0），B₁（0，1），A₁B₁的中点为C₁；A₂（0，3），B₂（﹣2，0），A₂B₂的中点为C₂；A₃（﹣4，0），B₃（0，﹣3），A₃B₃的中点为C₃；A₄（0，﹣5），B₄（4，0），A₄B₄的中点为C₄；…；按此做法进行下去，则点C₂₀₂₂的坐标为 　  　．

【答案】（﹣1011，）

【解答】解：由题意可得，点∁_n的位置按4次一周期的规律循环出现，

∵2022÷4＝505……2，

∴点C₂₀₂₂在第二象限，

∵位于第二象限内的点C₂的坐标为（﹣1，），

点C₆的坐标为（﹣3，），

点C₁₀的坐标为（﹣5，），

……

∴点∁_n的坐标为（﹣，），

∴当n＝2022时，﹣＝﹣＝﹣1011，＝＝，

∴点C₂₀₂₂的坐标为（﹣1011，），

故答案为：（﹣1011，）．

【变式5-3】（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A₁，A₂，A₃，A₄…在x轴上且OA₁＝1，OA₂＝2OA₁，OA₃＝2OA₂，OA₄＝2OA₃…按此规律，过点A₁，A₂，A₃，A₄…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B₁，B₂，B₃，B₄…记△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，△OA₄B₄…的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄…则S₂₀₂₂＝　    　．

【答案】2⁴⁰⁴¹

【解答】解：∵OA₁＝1，OA₂＝2OA₁，

∴OA₂＝2，

∵OA₃＝2OA₂，

∴OA₃＝4，

∵OA₄＝2OA₃，

∴OA₄＝8，

把x＝1代入直线y＝x中可得：y＝，

∴A₁B₁＝，

把x＝2代入直线y＝x中可得：y＝2，

∴A₂B₂＝2，

把x＝4代入直线y＝x中可得：y＝4，

∴A₃B₃＝4，

把x＝8代入直线y＝x中可得：y＝8，

∴A₄B₄＝8，

∴S₁＝OA₁•A₁B₁＝×1×＝×2⁰×（2⁰×），

S₂＝OA₂•A₂B₂＝×2×2＝×2¹×（2¹×），

S₃＝OA₃•A₃B₃＝×4×4＝×2²×（2²×），

S₄＝OA₄•A₄B₄＝×8×8＝×2³×（2³×），

..．

∴S₂₀₂₂＝×2²⁰²¹×（2²⁰²¹×）＝2⁴⁰⁴¹，

故答案为：2⁴⁰⁴¹．

【变式5-4】（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA₁，扫过的面积记为S₁，A₁A₂⊥OA₁交x轴于点A₂；将OA₂绕点O顺时针旋转45°到OA₃，扫过的面积记为S₂，A₃A₄⊥OA₃交y轴于点A₄；将OA₄绕点O顺时针旋转45°到OA₅，扫过的面积记为S₃，A₅A₆⊥OA₅交x轴于点A₆；…；按此规律，则S₂₀₂₂的值为 　   　．

【答案】2²⁰¹⁸π

【解答】解：由题意△A₁OA₂、△A₃OA₄、△A₅OA₆、…、都是等腰直角三角形，

∴OA₂＝，OA₄＝2，OA₆＝2，…，

∴S₁＝＝π，S₂＝＝π，S₃＝＝π，S₄＝，

…；

∴S_n＝2^n﹣4π，

∴_S2022＝2²⁰¹⁸π，

故答案为：2²⁰¹⁸π，

【变式5-5】（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC₁⊥l交x轴于点C₁，过点C₁作B₁C₁⊥x轴交l于点B₁，过点B₁作B₁C₂⊥l交x轴于点C₂，过点C₂作B₂C₂⊥x轴交l于点B₂，…，按照如此规律操作下去，则点B₂₀₂₂的纵坐标是 　    ．

【答案】（）²⁰²²　

【解答】解：∵y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，

∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），B（0，），

∴OA＝3，OB＝，

∴tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝30°，

∵BC₁⊥l，

∴∠C₁BO＝∠BAO＝30°，

∴BC₁＝＝2，

∵B₁C₁⊥x轴，

∴∠B₁C₁B＝30°，

∴B₁C₁＝＝，

同理可得，B₂C₂＝C₁＝（）²，

依此规律，可得B_n∁_n＝（）ⁿ，

当n＝2022时，B₂₀₂₂C₂₀₂₂＝（）²⁰²²，

故答案为：（）²⁰²²．