【压轴之满分集训】专题03 几何图形中的有关计算（四大类）（解析版）

【压轴之满分集训】专题03 几何图形中的有关计算（四大类）（解析版）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题03 几何图形中的有关计算（四大类）

【典例分析】

【类型一：与动点有关的计算】

1．（2021•即墨区校级二模）如图，正方形ABCD的边长为3，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是（　　）

A．3 B．1.5 C．3 D．

【答案】D

【解答】解：如图，在AC上取AD'＝AD＝3，作D'P⊥AD于P，交AE于Q．

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAQ＝∠D'AQ，

∴△DAQ≌△D'AQ（SAS），

∴DQ＝D'Q，

∴DQ+PQ＝D'Q+PQ≥D'P，

∴D'P＝AP＝AD'＝，

故选：D．

2．（2020•潮南区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．10 B．9 C．8 D．6

【答案】B

【解答】解：连接AD，AM，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S_△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴AM＝CM，

当点M在AD上时，DM+CM最小，最小值为AD，

∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．

故选：B．

3．（2021•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（　　）

A．3 B．6 C．3 D．6

【答案】A

【解答】解：如图，连接DE，

在△DPE中，DP+PE＞DE，

∴当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，

∴tan∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∵点E是AB的中点，

∴DE⊥AB，

∵sin∠ABD＝，

∴＝，

∴DE＝3，

故选：A．

4．（2022•赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　）

A．3 B．5 C．2 D．

【答案】A

【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），

∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴DE'＝OC＝3，

即PD+PE的最小值是3，

故选：A．

5．（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（　　）

A．2 B． C．1.5 D．

【答案】A

【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD∥AB，CD＝AB，

∵DF＝CF，AT＝TB，

∴DF＝AT，DF∥AT，

∴四边形ADFT是平行四边形，

∴AD＝FT＝2，

∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，

∴E，T关于AC对称，

∴PE＝PT，

∴PE+PF＝PT+PF，

∵PF+PT≥FT＝2，

∴PE+PF≥2，

∴PE+PF的最小值为2．

故选：A．

6．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣2

【答案】D

【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，

∴∠BAP+∠DAM＝90°，

∵∠ADM＝∠BAP，

∴∠ADM+∠DAM＝90°，

∴∠AMD＝90°，

∵AO＝OD＝2，

∴OM＝AD＝2，

∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，

∵OB＝＝＝，

∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，

∴BM的最小值为﹣2．

故选：D．

7．（鄂尔多斯）如图，直线y＝﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为　  　．

【答案】

【解答】解：∵AM垂直于直线BP，

∴∠BMA＝90°，

∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的，

连接ON，

∵直线y＝﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，

∴OA＝OB＝4，

∴ON⊥AB，

∴∠ONA＝90°，

∵AB＝＝4，

∴ON＝2，

∴＝•2＝．

故答案为：π．

8．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 　  　．

【答案】

【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADT＝90°，

∵∠AHT＝90°，

∴四边形AHTD是矩形，

∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，

∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，

∴FT＝＝＝，

∵DG平分∠ADC，DE＝DT，

∴E、T关于DG对称，

∴PE＝PT，

∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，

∵EF＝＝＝5，

∴△EFP的周长的最小值为5+，

故答案为：5+．

9．（2020•广西）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为　   　．

【答案】π

【解答】解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，

∴△ABD，△BCD都是等边三角形，

∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，

∵DF＝AE，

∴△BDF≌△DAE（SAS），

∴∠DBF＝∠ADE，

∵∠ADE+∠BDE＝60°，

∴∠DBF+∠BDP＝60°，

∴∠BPD＝120°，

∵∠C＝60°，

∴∠C+∠DPB＝180°，

∴B，C，D，P四点共圆，

由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，

∵∠BOD＝2∠C＝120°，

∴点P的运动的路径的长＝＝π．

故答案为π．

10．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　   　．

【答案】﹣1

【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，

在△DAE和△ABF中，

，

∴△DAE≌△ABF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠EDA+∠DAF＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∵DT＝AT，

∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，

∴BG≥BT﹣GT，

∴BG≥﹣1，

∴BG的最小值为﹣1．

故答案为：﹣1．

【类型二：与折叠有关的计算】

11．（2020•青岛）如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为（　　）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解答】解：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，

∴∠EFC＝∠AEF，

由折叠得，∠EFC＝∠AFE，

∴∠AFE＝∠AEF，

∴AE＝AF＝5，

由折叠得，

FC＝AF，OA＝OC，

∴BC＝3+5＝8，

在Rt△ABF中，AB＝＝4，

在Rt△ABC中，AC＝＝4，

∴OA＝OC＝2，

故选：C．

12．如图，在△ABC纸片中，∠B＝30°，AB＝AC＝，点D在AB上运动，将纸片沿CD折叠，得到点B的对应点B′（D在A点时，点D的对应点是本身），则折叠过程对应点B′的路径长是（　　）

A．3 B．6 C．π D．2π

【答案】C

【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，

∵∠B＝30°，AB＝AC＝，

∴BE＝ABcos∠B＝，

∴BC＝2BE＝3，

由折叠的性质可得：∠BCB''＝2∠ACB＝60°，

∴B′的路径长＝＝π．

故选：C．

13．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，

∴∠BDC＝∠DBF，

由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，

∴∠BDF＝∠DBF，

∴BF＝DF，

设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，

在Rt△ADF中，3²+（5﹣x）²＝x²，

∴x＝，

∴cos∠ADF＝，

故选：C．

14．（2022•毕节市）矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB＝4，BC＝6，则CF的长是（　　）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【解答】解：连接BF，交AE于O点，

∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，

∴BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，

∵点E为BC的中点，

∴BE＝CE＝EF＝3，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，

∴∠AEB＝∠ECF，

∴AE∥CF，

∴∠BFC＝∠BOE＝90°，

在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，

∴BO＝＝，

∴BF＝2BO＝，

在Rt△BCF中，由勾股定理得，

CF＝＝＝，

故选：D．

15．（2022•湖州）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（　　）

A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC

【答案】D

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，BC＝AD，

∵AB＝6，BC＝8，

∴BD＝＝＝10，

故A选项不符合题意；

∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，

∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，

∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，

故B选项不符合题意；

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝90°，

∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，

∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，

∴EG∥FH．

故C选项不符合题意；

∵GH＝2，

∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，

设FC＝HF＝x，则BF＝8﹣x，

∴x²+4²＝（8﹣x）²，

∴x＝3，

∴CF＝3，

∴，

又∵，

∴，

若GF⊥BC，则GF∥CD，

∴，

故D选项符合题意．

故选：D．

16．（2021•天津）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD

【答案】D

【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴∠ADC＝60°，

∴△ADC为等边三角形，

∴∠DAC＝60°，

∴∠BAD＝60°＝∠ADC，

∴AB∥CD，

故选：D．

17．（2022•滨州）正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（　　）

A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线

【答案】A

【解答】解：建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB，

∵∠AOB＝∠EOF＝90°，

∴∠AOE＝∠BOF，

∴△AOE≌△BOF（ASA），

∴AE＝BF，

设AE＝BF＝a，则F（a，0），E（0，1﹣a），

∵EG＝FG，

∴G（a，﹣a），

∴点G在直线y＝﹣x+上运动，

∴点G的运动轨迹是线段，

故选：A．

18．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC²＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，

∴∠EDC＝∠HBC，

∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，

∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，

∴∠EDC＝135°，故①正确；

∵△EDC旋转得到△HBC，

∴EC＝HC，∠ECH＝90°，

∴∠HEC＝45°，

∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，

∵∠ECD＝∠ECF，

∴△EFC∽△DEC，

∴，

∴EC²＝CD•CF，故②正确；

设正方形边长为a，

∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，

∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，

∵∠GBH＝∠EDC＝135°，

∴△GBH∽△EDC，

∴，即，

∵△HEC是等腰直角三角形，

∴，

∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，

∴△HBG∽△HDF，

∴，即，解得：EF＝3，

∵HG＝3，

∴HG＝EF，故③正确；

过点E作EM⊥FD交FD于点M，

∴∠EDM＝45°，

∵ED＝HB＝2，

∴，

∵EF＝3，

∴，

∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，

∴∠DEC＝∠EFC，

∴，故④正确

综上所述：正确结论有4个，

故选：D．

19．（2022•单县一模）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是　　cm．

【答案】16

【解答】解：设EF＝x，

∵EF＝DF，

∴DF＝x，

则AF＝8﹣x；而AE＝4，

由勾股定理得：

x²＝4²+（8﹣x）²，

解得：x＝5；

AF＝8﹣5＝3；

由题意得：

∠GEF＝∠D＝90°，∠A＝∠B＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠BEG，

∴∠AFE＝∠BEG；

∴△AEF∽△BGE，

∴＝＝，

∴EG＝＝，BG＝＝，

∴△EBG的周长＝++4＝16．

故答案为16．

20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P在CD边上，联结AP．如果将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上，那么的值为 　 　．

【答案】

【解答】解：如图：

∵将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上的D'，

∴AD'＝AD＝5，PD＝PD'，∠AD'P＝∠D＝90°，

在Rt△ABD'中，BD'＝＝＝4，

∴CD'＝BC﹣BD'＝5﹣4＝1，

设CP＝x，则PD＝PD'＝3﹣x，

在Rt△CPD'中，CD'²+CP²＝PD'²，

∴1²+x²＝（3﹣x）²，

解得x＝，

∴CP＝，PD＝，

∴S_△ADP＝AD•PD＝×5×＝，

S_{四边形ABCP}＝S_矩形ABCD﹣S_△ADP＝3×5﹣＝，

∴＝＝，

故答案为：．

21．（2022•铜仁市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为 　 　．

【答案】

【解答】解：作点P关于CE的对称点P′，

由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，

∴点P′在CD上，

过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，

∵MN+NP＝MN+NP′≥MF，

∴MN+NP的最小值为MF的长，

连接DG，DM，

由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，

∵AD＝CD＝2，DE＝1，

∴CE＝＝，

∵CE×DO＝CD×DE，

∴DO＝，

∴EO＝，

∵MF⊥CD，∠EDC＝90°，

∴DE∥MF，

∴∠EDO＝∠GMO，

∵CE为线段DM的垂直平分线，

∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，

∴△DOE≌△MOG，

∴DE＝GM，

∴四边形DEMG为平行四边形，

∵∠MOG＝90°，

∴四边形DEMG为菱形，

∴EG＝2OE＝，GM＝DE＝1，

∴CG＝，

∵DE∥MF，即DE∥GF，

∴△CFG∽△CDE，

∴，即，

∴FG＝，

∴MF＝1+＝，

∴MN+NP的最小值为；

方法二：同理方法一得出MN+NP的最小值为MF的长，DO＝，

∴OC＝＝，DM＝2DO＝，

∵S_△CDM＝DM•OC＝CD•MF，

即×＝2×MF，

∴MF＝，

∴MN+NP的最小值为；

故答案为：

【类型三：与旋转有关的计算】

22．（2020•桂林）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（　　）

A．π B．π C．2π D．2π

【答案】B

【解答】解：如图，设的圆心为O，连接OP，OA，AP'，AP，AB'

∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，

根据垂径定理，得

AC＝AB＝4，PO⊥AB，

OC＝＝3，

∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，

∴AP＝＝2，

∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，

∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，

∴L_PP′＝＝π．

则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π．

故选：B．

23．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为 　 　．

【答案】

【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：

设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），

∵E为OD中点，

∴E（﹣，），

设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：

，

解得，

∴直线CE解析式为y＝x+，

在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，

∴G（﹣1，），

∴GE＝＝，

∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，

∴CE＝CF，∠ECF＝90°，

∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，

∵∠EMC＝∠CNF＝90°，

∴△EMC≌△CNF（AAS），

∴ME＝CN，CM＝NF，

∵E（﹣，），C（1，1），

∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，

∴F（，﹣），

∵H是EF中点，

∴H（，0），

∴OH＝，

∴＝＝．

故答案为：．

24．（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 　  　．