【压轴之满分集训】专题04 数学文化题（三大类）（解析版）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题04 数学文化题（三大类）

【典例分析】

【类型一：数与式】

【典例1】（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）

A． B．4 C．2 D．5

【答案】C

【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，

∴5＝，

∴a+b＝6，

∴a＝6﹣b，

∴S＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝，

当b＝3时，S有最大值为＝2．

故选：C．

【变式1】（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2²⁰⁰个不同的数据二维码，现有四名网友对2²⁰⁰的理解如下：

YYDS（永远的神）：2²⁰⁰就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：2²⁰⁰等于200²；

JXND（觉醒年代）：2²⁰⁰的个位数字是6；

QGYW（强国有我）：我知道2¹⁰＝1024，10³＝1000，所以我估计2²⁰⁰比10⁶⁰大．

其中对2²⁰⁰的理解错误的网友是 　  　（填写网名字母代号）．

【答案】DDDD

【解答】解：（1）∵2²⁰⁰就是200个2相乘，

∴YYDS（永远的神）的说法正确；

∵2²⁰⁰就是200个2相乘，200²是2个200相乘，

∴2²⁰⁰不等于200²，

∴DDDD（懂的都懂）说法不正确；

∵2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁵＝32，…，

∴2ⁿ的尾数2，4，8，6循环，

∵200÷4＝50，

∴2²⁰⁰的个位数字是6，

∴JXND（觉醒年代）说法正确；

∵2¹⁰＝1024，10³＝1000，

∴2²⁰⁰＝（2¹⁰）²⁰＝（1024）²⁰，10⁶⁰＝（10³）²⁰＝1000²⁰，

∵1024＞1000，

∴2²⁰⁰＞10⁶⁰，

∴QGYW（强国有我）说法正确；

故答案为：DDDD．

【类型二：方程（组）】

【典例2】（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（　　）

A．25 B．75 C．81 D．90

【答案】B

【解答】解：设城中有x户人家，

依题意得：x+x＝100，

解得：x＝75，

∴城中有75户人家．

故选：B．

【变式2-1】（2022•辽宁）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，

∴x﹣y＝4.5；

∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，

∴x+1＝y．

∴所列方程组为．

故选：C．

【变式2-2】（2022•毕节市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解答】解：∵马四匹、牛六头，共价四十八两，

∴4x+6y＝48；

∵马三匹、牛五头，共价三十八两，

∴3x+5y＝38．

∴可列方程组为．

故选：C．

【变式2-3】（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　）

A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30

C．+＝5 D．+＝5

【答案】A

【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，

由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，

故选：A．

【变式2-4】（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 　   　．

【答案】x+2y＝32

【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，

一个竖线表示一个，一条横线表示一十，

所以该图表示的方程是：x+2y＝32．

【变式2-5】（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为 　    　．

【答案】

【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，

由题意得：，

故答案为：

【类型三：几何图形】

【典例3】（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸

【答案】C

【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：

由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，

设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，

则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，

在Rt△ADE中，AE²+DE²＝AD²，

即（r﹣1）²+10²＝r²，

解得：r＝50.5，

∴2r＝101（寸），

∴AB＝101寸，

故选：C．

【变式3-1】（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米

【答案】B

【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA，

∵点C为运行轨道的最低点，

∴OC⊥AB，

∴AD＝AB＝3（米），

在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），

∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，

故选：B．

【变式3-2】（2021•张家界）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S₁，则S₁：S的比值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解答】解：不妨设正方形面积S＝1，则正方形边长为1，

∴内切圆直径d＝1，r＝，

∴S_圆＝πr²＝π，

根据圆的对称性得：黑色部分面积S₁＝S_圆＝π，

∴S₁：S＝＝，

故选：A．

【变式3-3】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）

＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）

＝（2﹣3b）（a﹣2）

解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）

＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）

＝（a﹣2）（2﹣3b）

【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）

【类比】（1）请用分组分解法将x²﹣a²+x+a因式分解；

【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a²﹣2ab﹣bx+b²因式分解；

【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．

根据以上信息，先将a⁴﹣2a³b+2a²b²﹣2ab³+b⁴因式分解，再求值．

【解答】解：（1）原式＝（x²﹣a²）+（x+a）

＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）

＝（x+a）（x﹣a+1）；

（2）原式＝（ax﹣bx）+（a²﹣2ab+b^2）

＝x（a﹣b）+（a﹣b）²

＝（a﹣b）（x+a﹣b）；

（3）原式＝（a⁴+2a²b²+b⁴）﹣（2ab³+2a³b）

＝（a²+b²）²﹣2ab（a²+b²）

＝（a²+b²）（a²+b²﹣2ab）

＝（a²+b²）（a﹣b）²，

∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，

∴a²+b²＝3²＝9，（a﹣b）²＝1，

∴原式＝9．

【变式3-4】（2021•贵阳）（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．

已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．

【解答】解：（1）a²+b²＝c²（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：

∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，

∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积，

即4×ab+（b﹣a）²＝c²，

整理得：a²+b²＝c²；

（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，

设EF＝a，FD＝b，

分两种情况：

①a＞b时，

∴a+b＝12，

∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，

∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，

∵E'F'﹣KF'＝E'K，

∴a﹣b＝5，

∴，

解得：a＝，

∴EF＝；

②a＜b时，同①得：，

解得：a＝，

∴EF＝；

综上所述，EF为或；

（3）c+b＝n，理由如下：

如图③所示：

设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，

∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，

∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，

∴＝，＝，

即＝，＝，

∴e²＝cn，f²＝bn，

在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e²+f²＝n²，

∴cn+bn＝n²，

∴c+b＝n．