【压轴之满分集训】专题05 常考实际应用与方案设计（五大类型）（解析版）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题05  常考实际应用与方案设计（五大类）

【典例分析】

【类型一：购买、分配类问题】

【典例1】（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．

（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？

（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，

依题意得：，

解得：．

答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．

（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，

∴购买B种跳绳（45﹣m）根．

依题意得：，

解得：23≤m≤25.4，

又∵m为整数，

∴m可以取23，24，25，

∴共有3种购买方案，

方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；

方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；

方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．

（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．

∵﹣5＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．

答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．

【变式1-1】（2022•黑龙江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．

（1）求m的值；

（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

【解答】解：（1）依题意得，＝，

整理得，3000（m﹣20）＝2400m，

解得m＝100，

经检验，m＝100是原分式方程的解，

所以，m＝100；

（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，

根据题意得，，

解不等式①得，x≥95，

解不等式②得，x≤105，

所以，不等式组的解集是95≤x≤105，

∵x是正整数，105﹣95+1＝11，

∴共有11种方案；

（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），

①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，

所以，当x＝105时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；

②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；

③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，

所以，当x＝95时，W有最大值，

即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．

【变式1-2】（2021•无锡）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，

依题意得：+＝25，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，

∴4x＝60，3x＝45．

答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．

（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，

依题意得：60m+45n＝1275，

∴n＝．

∵m，n均为正整数，且4≤m≤10，

∴或或，

∴共有3种购买方案，

方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；

方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；

方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．

【变式1-3】（2021•连云港）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．

【解答】解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元，

，

解得，

答：A型消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；

（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90﹣a）瓶，费用为w元，

依题意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，

∵k＝﹣2＜0，

∴w随a的增大而减小，

∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，

∴90﹣a≥a，

解得a≤67，

∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23，

答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元．

【类型二：工程、生产类问题】

【典例2】（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．

（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；

（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？

【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，

由题意得：﹣＝10，

解得：x＝60，

经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．

此时，60×（1+20%）＝72（米）．

答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；

（2）设以后每天改造管网还要增加m米，

由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，

解得：m≥36．

答：以后每天改造管网至少还要增加36米．

【变式2-1】（2022•四会市一模）为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程．已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天．

（1）求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；

（2）若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？

【解答】解：（1）设乙队每天铺设电路管道x米，则甲队每天铺设电路管道1.5x米，

依题意，得：．

解得：x＝40，

经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝1.5×40＝60．

答：甲队每天铺设电路管道60米，乙队每天铺设电路管道40米．

（2）设乙队施工m天正好完成该项工程，

依题意，得：≤20，

解得：m≥30．

答：若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工30天才能完成该项工程．

【变式2-2】（2022•永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．

方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；

方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管．

（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；

（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．

满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为50×3＝150（米），

方案二：铺设水管的总长度为2＝100≈140（米），

∵140＜150，

∴方案二铺设水管的总长度更短；

（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下：

如图：

∵AE＝BE，GE⊥AB，

∴AG＝BG＝AB＝25米，∠AEG＝∠BEG＝∠AEB＝60°，

同理DH＝CH＝25米，∠DFH＝∠CFH＝60°，

在Rt△AEG中，

GE＝＝（米），AE＝＝（米），

同理FH＝米，BE＝CF＝DF＝AE＝米

∴EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50﹣）米，

∴方案中铺设水管的总长度为×4+50﹣＝50+50≈135（米），

∵135＜140＜150，

∴小明的方案中铺设水管的总长度最短．

【变式2-3】（2022•呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．

（1）问去年每吨土豆的平均价格是多少元？

（2）该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元，由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为（x+200）元，第二次采购每吨土豆的平均价格为（x﹣200）元，

由题意得：×2＝，

解得：x＝2200，

经检验，x＝2200是原分式方程的解，且符合题意，

答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；

（2）由（1）得：今年采购的土豆数为：×3＝375（吨），

设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375﹣m）吨加工成淀粉，

由题意得：，

解得：150≤m≤175，

设总利润为y元，

则y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，

∵300＞0，

∴y随m的增大而增大，

∴当m＝175时，y的值最大＝300×175+150000＝202500，

答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润是202500元．

【变式2-4】（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y₁（单位：个）和需求量y₂（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y₂与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）

（1）直接写出y₁与x和y₂与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）

（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）

（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．

【解答】解：（1）根据题意得：y₁＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，

设y₂＝ax²+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：

，

解得，

∴y₂＝﹣x²+12x+209；

（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）+......+（150+8m）＝（1350+36m）个，

前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，

在y₂＝﹣x²+12x+209中，令x＝10得y＝﹣10²+12×10+209＝229，

∵前9天的总需求量为2136个，

∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），

∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，

∴，

解得19≤m＜21，

∵m为正整数，

∴m的值为20或21；

（3）由（2）知，m最小值为20，

∴第4天的销售量即供应量为y₁＝4×20+150﹣20＝210，

∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），

而第12天的销售量即需求量为y₂＝﹣12²+12×12+209＝209，

∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），

答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．

【类型三：行程问题】

【典例3】（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．

（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．

【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，

根据题意，得，

解得：x＝150，

经检验，x＝150是所列方程的根，

答：小刚跑步的平均速度为150米/分．

（2）他不能在上课前赶回学校，理由如下：

由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，

则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），

骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），

∵在家取作业本和取自行车共用了3分，

∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5（分）．

又∵22.5＞20，

∴小刚不能在上课前赶回学校．

【变式3-1】（2020•白云区二模）某校学生到离学校15千米的青少年营地举行活动，先遣队与大部队同时出发，已知先遣队的平均速度是大部队平均速度的1.2倍，预计比大部队早半小时到达．求先遣队的平均速度．

【解答】解：设大部队的速度为x千米/时；则先遣队的速度为1.2x千米/小时．

根据题意，得﹣＝，

解得 x＝5，

经检验：x＝5是原方程的根，

∴1.2x＝6．

答：先遣队的行进速度为6千米/小时．

【变式3-2】（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．

小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．

小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．

（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

【解答】解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得，

解得，，

∴v＝﹣t+10；

设y＝at²+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，

解得，

∴y＝﹣t²+10t．

（2）令y＝64，即﹣t²+10t＝64，

解得t＝8或t＝32，

当t＝8时，v＝6；

当t＝32时，v＝﹣6（舍）；

（3）设黑白两球的距离为wcm，

根据题意可知，w＝70+2t﹣y

＝t²﹣8t+70

＝（t﹣16）²+6，

∵＞0，

∴当t＝16时，w的最小值为6，

∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．

另解1：当w＝0时，t²﹣8t+70＝0，判定方程无解．

另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm．

【变式3-3】（2020•齐齐哈尔）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）甲车改变速度前的速度是　100　km/h，乙车行驶　10　h到达绥芬河；

（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；

（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　100　km；出发　2　h时，甲、乙两车第一次相距40km．

【解答】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500÷5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），

故答案为：100；10；

（2）∵乙车速度为80km/h，

∴甲车到达绥芬河的时间为：，

甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），

将（5，500）和（，800）代入得：，

解得，

∴y＝80x+100，

答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（）；

（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×＝100（km），

40÷（100﹣80）＝2（h），

即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．

故答案为：100；2．

【变式3-4】如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离y（m）与他所用时间x（min）之间的函数关系．

（1）小明家与图书馆的距离为 　2000　m，小明骑自行车速度为 　200　m/min；

（2）求小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式；

（3）当小明离家的距离为1000m时，求x的值．

【解答】解：（1）由图象可得，

小明家与图书馆的距离为2000m，小明步行的速度为：（2000﹣800）÷6＝200（m/min），

故答案为：2000，200；

（2）小明从图书馆回到家用的时间为：2000÷200＝10（min），

36+10＝46（min），

小明从图书馆返回家的过程中，设y与x的函数解析式为y＝kx+b，

∵点（36，2000），（46，0）在该函数图象上，

∴．

解得．

即小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝﹣200x+9200（36≤x≤46）；

（3）小明从图书馆返回家的过程中，当y＝1000时，

1000＝﹣200x+9200，

解得x＝41，

即当小明离家的距离为1000m时，x的值为41．

小明从食堂出来后，设y与x的函数解析式为y＝kx+b，

将（0，800）（6，2000）代入，得，

解得：

∴y＝200x+800，当y＝1000时，x＝1．

【变式3-5】（2020•宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）

（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．

（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时是多少千米？

【解答】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），

把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，

解得：，

∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128；

由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），

∴x的取值范围是1.6≤x＜3.1．

∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x＜3.1）；

（2）当y＝200﹣80＝120时，

120＝80x﹣128，

解得x＝3.1，

由图可知，甲的速度为＝50（千米/小时），

货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），

18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），

设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，

∴1.6v≥120，

解得v≥75．

答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．

【类型四：增长率（面积问题）】

【典例4】（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．

（1）若矩形养殖场的总面积为36m²，求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x） m，

∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，

解得x＝2或x＝6，

经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，

∴x＝2，

答：此时x的值为2；

（2）设矩形养殖场的总面积是ym²，

∵墙的长度为10m，

∴0＜x≤，

根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x²+24x＝﹣3（x﹣4）²+48，

∵﹣3＜0，

∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）²+48＝（m²），

答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m²．

【变式4-1】（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m²，试分别确定CG、DG的长；

（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），

∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m²），

设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m²），

∴36﹣a＝32，

解得a＝4，

∴DG＝4m，

∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），

即CG的长为8m、DG的长为4m；

（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，

∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x²﹣7x）＝﹣3（x﹣）²+，

∵﹣3＜0，

∴当x＝时，总种植面积有最大值为m²，

即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m²．

【变式4-2】（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．

【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，

根据题意得：，

解得：，

答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；

（2）由题意得：4500×7+2500（1+a%）×5（1﹣a%）＝（4500×7+2500×5）（1+a%），

设a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+m）（1﹣m）＝（9×7+25）（1+m），

375m²﹣30m＝0，

m（25m﹣2）＝0，

解得：m₁＝0（舍），m₂＝，

∴a＝8．

【变式4-3】（2022•大渡口区校级模拟）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为4：5，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．

（1）第二周草莓销售单价是每千克多少元？

（2）随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的，而第三周草莓的销售总额为（6200+100a）元，求a的值．

【解答】解：（1）设第一周草莓销售单价是每千克x元，第二周草莓销售单价是每千克y元，

依题意得：，

解得：，

答：第二周草莓销售单价是每千克60元．

（2）依题意可知，3月份第三周草莓的销售单价为60元/千克，第三周草莓的销售量为：180×（1+20%）＝120（千克），

其中会员购买的销量为：120×＝20a（千克），非会员购买的销量为：（120﹣20a）千克，

由题意得：20a（60﹣a）+（120﹣20a）×60＝6200+100a，

整理得：a²+5a﹣50＝0，

解得：a₁＝5，a₂＝﹣10（不符合题意，舍去）．

答：a的值为5．

【变式4-4】（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．

（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，

由题意，得4（1+x）²＝5.76，

解这个方程，得x₁＝0.2，x₂＝﹣2.2（舍去），

答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；

（2）①由题意，得

100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．

答：景区六月份的门票总收入为798万元．

②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，

由题意，得

W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），

化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）²+817.6，

∵﹣0.1＜0，

∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．

答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．

【类型五：函数图像问题】

【典例5】（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由所给函数图象可知：，

解得：，

故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；

（2）设每天销售这种商品所获的利润为w，

∵y＝﹣20x+500，

∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）

＝﹣20x²+760x﹣6500

＝﹣20（x﹣19）²+720，

∵﹣20＜0，

∴当x＜19时，w随x的增大而增大，

∵13≤x≤18，

∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，

∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．

【变式5-1】（2023•泸县校级一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．

（1）求y与之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；

（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

由所给函数图象可知：，

解得，

故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；

（2）∵y＝﹣2x+120，

∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x²+160x﹣2400，

即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x²+160x﹣2400；

（3）根据题意得：600＝﹣2x²+160x﹣2400，

∴x₁＝30，x₂＝50（舍），

∵20≤x≤38，

∴x＝30．

答：每件商品的售价应定为30元．

【变式5-2】（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．

小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x²+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．

（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；

（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；

（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？

【解答】解：（1）认同，理由是：当m＞0时，y＝中，y随x的增大而减小，而从图中描点可知，x增大y随之增大，故不能选y＝（m＞0）；

（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为y＝﹣0.1x²+ax+c，

把（1，1.5），（2，2.0）代入y＝kx+b得：

，

解得，

∴y＝0.5x+1；

把（1，1.9），（2，2.6）代入y＝﹣0.1x²+ax+c得：

，

解得，

∴y＝﹣0.1x²+x+1，

答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x²+x+1；

（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，

由（2）知，w＝0.5x+1+（﹣0.1x²+x+1）＝﹣0.1x²+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）²+7.625，

∵﹣0.1＜0，抛物线对称轴为直线x＝7.5，而x为整数，

∴当x＝7或8时，w取最大值，最大值为7.6，

答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．

【变式5-3】（2021•大庆）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

（1）图②中折线EDC表示 　乙　槽中水的深度与注水时间之间的关系；线段AB表示 　甲　槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为 　16　cm．

（2）注水多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

【解答】解：（1）由题意可知，乙槽在注入水的过程中，由于有圆柱铁块在内，所以水的高度出现变化，

∴EDC表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；

∵甲槽的水是匀速外倒，

∴线段AB表示甲槽水深与注水时间的关系；

折线EDC中，在D点表示乙槽水深16cm，也就是铁块的高度16cm；

故答案为：乙，甲，16；

（2）由图象可知，两个水槽深度相同时，线段ED与线段AB相交，

设AB的解析式为y＝kx+b，

将点（0，14），（7，0）代入，

得解得，，

∴y＝﹣2x+14；

设ED的解析式为y＝mx+n，

将点（0，4），（4，16）代入，

得，解得，

∴y＝3x+4；

联立方程组，

∴，

∴注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．

【变式5-4】（2022秋•河口区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题；

（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．

（2）求出B点坐标．

（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？

【解答】解：（1）设y_甲＝k₁x，

根据题意得5k₁＝100，解得k₁＝20，

∴y_甲＝20x；

设y_乙＝k₂x+100，

根据题意得：20k₂+100＝300，解得k₂＝10，

∴y_乙＝10x+100；

（2）解方程组，得，

∴B点坐标为（10，200）；

（3）甲：20x＝240，解得x＝12，即甲种消费卡可玩12次；

乙：10x+100＝240，解得x＝14，即乙种消费卡可玩14次；

14＞12，

∴洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，选择乙种消费卡划算．

【变式5-5】（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．

（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　1　m/min；

（2）求AB的函数表达式；

（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．

【解答】解：（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，